В 1937—1941 учился в Киевском хореографическом училище, одновременно танцевал в Ансамбле народного танца УССР. Участник Великой Отечественной войны. В 1941—1946 — во фронтовом ансамбле, в 1947—1948 солист Ансамбля песни и пляски Советской Армии им. А. В. Александрова, в 1948—1966 артист Москонцерта. С 1955 работал в ансамбле литературной и театральной пародии «Синяя птичка» под рук. В. Ю. Драгунского, исполнял интермедии, был автором текстов, балетмейстером. Участвовал в работе «закулисного» театра «Крошка» (ЦДРИ). Балетмейстер многих эстрадных номеров и программ. Автор книги «Я из Одессы, здрасьте!». Славу ему принесла роль куплетиста Бубы Касторского в фильмах про неуловимых мстителей.

В 1973 в Тамбове был посажен в тюрьму по обвинению в хищении государственного имущества в крупных размерах. Через год был освобождён. Следствие продолжалось ещё несколько лет. В конце-концов Борис Сичкин был окончательно оправдан.

В 1979 уехал в США. Последние годы он провел в доме для семей с невысокими доходами в нью-йоркском районе Квинс. Член редколлегии нью-йоркской газеты на русском языке «Русский Базар». В 1994 впервые после эмиграции приехал в Россию. Снимался в нескольких фильмах. Умер 21 марта 2002 года в Нью-Йорке. Вскоре по желанию его жены прах Бориса Сичкина был извлечён из могилы и кремирован, а урна перевезена в Москву и 6 лет хранилась у друзей семьи Сичкиных. Лишь 18 апреля 2008 года прах был захоронен. Прощание прошло в Доме кино, а затем урна с прахом была помещена в колумбарий Ваганьковского кладбища.